グラフ on Eating Your Own Cat Food

フロー等価木と Gusfield のアルゴリズム

Tue, 23 Dec 2025 00:01:00 +0900

はじめに

この記事は木 Advent Calendar 2025 の 23 日目の記事です．
この記事では無向グラフのすべての頂点対の最大流の情報を持つ木であるフロー等価木を紹介します．
まず，フロー等価木の説明をします．次に，フロー等価木を構築するアルゴリズムの説明とその証明を行います．最後にフロー等価木を実装し，例として競プロの問題を解きます．

無向グラフや最小カットなどの用語についてはGomory-Hu 木を参照してください．

フロー等価木

同じ頂点集合 $V$ をもつ $2$ つの重み付き無向グラフ $G(V, E)$ と $H(V, F)$ を考えます．ただし，$F \subset E$ とは限りません．
$G$ と $H$ の s - t 間の最大流の値をそれぞれ $f_{s, t; G}$，$f_{s, t; H}$ と表記します¹．
任意の $2$ 頂点 $s, t \in V$ に対し $f_{s, t; H} = f_{s, t;G}$ が成り立つとき，$H$ は $G$ にフロー等価（flow equivalent）であるといいます．
特に，木 $T$ がグラフ $G$ にフロー等価であるとき，$T$ をフロー等価木（flow equivalent tree）とよびます．

フロー等価木と似た概念に Gomory-Hu 木があります²．
Gomory-Hu 木は，$G$ の任意の $2$ 頂点 $s, t \in V$ に対し，木の最小 s - t カット $S$ が $G$ の最小 s - t カットとなるような木です³．
Gomory-Hu 木は常にフロー等価木ですが，フロー等価木であっても Gomory-Hu 木でない場合があります．

下の図はグラフ $G$ とそれに対応するフロー等価木 $T$ です．各 s - t 間の最大流の値は $G$ と $T$ で一致します．
一方，$T$ の最小 1-3 カットは $\{1, 2, 4\}$ なのに対し，$G$ のカット $\{1, 2, 4\}$ の容量は $11$ となり，一致しない最小 s - t カットが存在することがわかります．

$s, t$	$G$ の s - t 間の最大流の値	$T$ の s - t 間の最大流の値
$1, 2$	$6$	$6$
$1, 3$	$9$	$9$
$1, 4$	$6$	$6$
$2, 3$	$6$	$6$
$2, 4$	$12$	$12$
$3, 4$	$6$	$6$

フロー等価木を構築するアルゴリズム

変数と関数
- $n$: $G$ の頂点の数
- $p[i]$: 頂点 $i$ の親の頂点
- $fl[i]$: 辺 $(i, p[i])$ の重み
step1: 初期化
1. 各頂点 $s$ について $p[s] \coloneqq 1$
step2: $2$ から $n$ の頂点 $s$ について以下を行う
1. $t \coloneqq p[s]$
2. $G$ 上で最小 s - t カット $X$ を求める．$s \in X$ とする
3. $fl[s] \coloneqq f_{s, t; G}$
4. $s + 1$ から $n$ の頂点 $i$ について以下を行う
  - $i \in X$ かつ $p[i] = t$ なら $p[i] \coloneqq s$ とする

準備

アルゴリズムがフロー等価木を構築する証明をする前にいくつかの補題を導入します．

補題 1

$(X, Y)$ を $x \in X, y \in Y$ であるような最小 x - y カットとする．$u, v \in X$ であるような任意の最小 u - v カットを $(U, V)$ とする．$y \in U$ のとき，$(U^{\prime}, V^{\prime}) = (U \cup Y, V \cap X)$ は最小 u - v カットとなり，$y \in V$ のとき，$(U^{\prime}, V^{\prime}) = (U \cap X, V \cup Y)$ は最小 u - v カットとなる．

系 1

$(X, Y), (U, V), (U^{\prime}, V^{\prime})$ を補題 1 と同様にとる．最小 u - v カット $(U^{\prime}, V^{\prime})$ は $(X, Y)$ と交差せず，$X$ を $(U, V)$ と同様に分割する

補題 2

長さ $k \ge 2$ の互いに異なる頂点列 $v_1, v_2, v_3, \cdots, v_k$ について，$f_{v_1, v_k} \ge \min \limits_{1 \le i \le k - 1} f_{v_i, v_{i + 1}}$ が成り立つ

Gomory-Hu 木の補題 1を参照してください．

系 2

$G$ の $3$ つの頂点 $i, j, k$ について，$f_{i, j}, f_{i, k}, f_{j, k}$ のうち少なくとも $2$ つは最小値である

系 2 を示します．
補題 2 により，$i, j, k$ に対して，$f_{i, k} \ge \min(f_{i, j}, f_{j, k})$ が成立します．
$f_{i, j}, f_{i,k}, f_{j,k}$ のうち，$1$ つだけが最小値であると仮定し，矛盾を導きます．
$f_{i, k}$ が唯一の最小値だとします．すると，$f_{i, k} \lt \min(f_{i, j}, f_{j, k})$ となり，矛盾します．
$f_{i, j}, f_{j, k}$ についても同様に示せるため，系 2 が示せました．

補題 3

アルゴリズムによって構築される最終的な $T$ で，ある頂点 $i$ からある頂点 $j$ へ向かう有向パス $P_{i, j}$ があるとする．さらに，$j$ に入る有向辺 $(k, j)$ があって，$k$ は $P_{i, j}$ 上の $j$ 以外のどの頂点よりも頂点番号が小さいとする．このとき以下が成立する．

アルゴリズムが最小 k - j カット $C$ を計算したとき，（構築途中の）$T$ 上で $i$ は $j$ の隣接頂点だった
「最小カット $C$ において $i$ が $k$ 側にいる」と「最終的な $T$ で $k$ がパス $P_{i, j}$ 上にいる」は同値

アルゴリズムの証明

アルゴリズムが最終的に構築した木を $T$ とします．
アルゴリズムは木の各辺 $(x, y)$ の重みを $f_{x, y}$ としているので，木の辺 $(x, y)$ となるような頂点 $x, y$ について $G$ の x - y 間の最大流の値と $T$ の x - y 間の最大流の値は一致します．
任意の頂点対 $(x, y)$ についても，$G$ 上の最大流の値 $f_{x, y}$ と $T$ 上の x - y パスの辺のうち重みが最小の辺の重みが一致することを示します．
これは，x - y パスを $P_{x,y}$，x - y パスの辺の重みの集合を $P[x, y]$ と表記することにすると，$f_{x, y} = \min(P[x, y])$ を示すと言い換えることができます．
$f_{x, y} \ge \min(P[x, y])$ と $f_{x, y} \le \min(P[x, y])$ をそれぞれ示します．

$f_{x, y} \ge \min(P[x, y])$

$T$ の x - y パスの頂点列 $x = v_1, v_2, \cdots, v_k = y$ を考えます．
補題 2 から $f_{x, y} \ge \min \limits_{1 \le i \le k - 1} f_{v_i, v_{i+1}}$ が成り立ちます．
アルゴリズムは木の各辺 $(v_i, v_{i + 1})$ の重みを $f_{v_i, v_{i + 1}}$ としているので，$\min \limits_{1 \le i \le k - 1} f_{v_i, v_{i+1}} = \min(P[x, y])$ となります．
よって，$f_{x, y} \ge \min(P[x, y])$ が示せました．

$f_{x, y} \le \min(P[x, y])$

背理法で示します．
$f_{x, y} \gt \min(P[x, y])$ となるような頂点対 $(x, y)$ があると仮定して矛盾を導きます．
まず，この不等式を満たす頂点対の中から「$T$ 上の x - y パスの辺数が最も短い」パスを $1$ つ選び $P$ とします．この仮定とさきほど証明した「$f_{x, y} \ge \min(P[x, y])$」から，$P$ より短いパス $P_{a,b}$ については $f_{a, b} = \min(P[a, b])$ が成り立つことに注意します．

アルゴリズムで作られる辺 $(s, t)$ を $s$ から $t$ への有向辺とみなします．すると，すべての辺は番号の大きい頂点から小さい頂点へ向くので，$T$ は有向木になります．
このとき，パス $P$ が直線のときと V 字のときのそれぞれの場合について矛盾が生じることを示します．

Case1: パス $P$ が直線のとき

パス $P$ が $x \rightarrow \cdots \rightarrow v \rightarrow y$ のように，すべて同じ向きの有向パスになっている場合を考えます．

まず，$\min(P[x, y]) = f_{x, v} = f_{v, y}$ を示します．
パス $P$ は $P_{x, y} = P_{x, v} + (v, y)$ という形であるため，パス上の最小重みは

$$\min(P[x, y]) = \min(\min(P[x, v]), f_{v, y})$$

と表わせます．
また，$P_{x, v}$ は $P$ より短いため $\min(P[x, v]) = f_{x, v}$ といえ，これを代入することにより

$$\min(P[x, y]) = \min(f_{x, v}, f_{v, y})$$

を得ます．
$3$ つの頂点 $x, v, y$ を考えたとき，系 2 より $f_{x, v}, f_{v, y}, f_{x, y}$ のうち少なくとも最小値が 2 つあるといえますが，背理法の仮定により $f_{x, y} \gt \min(P[x, y])$ であるため，$f_{x, y}$ が最小値であることはありえません．
よって，$\min(P[x, y]) = f_{x, v} = f_{v, y}$ が示せました．

$T$ の辺 $(v, y)$ を作ったとき，アルゴリズムは最小 v - y カットを計算しています．
ここで補題 3 を $i = x, j = y, k = v$ と対応させると，このカットは x - y カットでもあるため

$$f_{x, y} \le f_{v, y} = \min(P[x, y])$$

となります．
これは，$f_{x, y} \gt \min(P[x, y])$ というような頂点対 $(x, y)$ があるという仮定と矛盾します．

Case2: パス $P$ が V 字のとき

パス $P$ が $x \rightarrow \cdots \rightarrow x_1 \rightarrow z \leftarrow y_1 \leftarrow \cdots y$ のように，$z$ で折り返す形になっている場合を考えます．頂点番号について $x_1 \lt y_1$ を仮定し，$y_1$ - $z$ カットを計算する前に $x_1$ - z カットが計算されたとします．

まず，$m = \min(P[x, y])$ としたとき，$f_{x, z} = f_{y, z} = m$ となることを示します．
$P$ が最短という仮定から，$f_{x,z} = \min(P[x, z])$，$f_{y,z} = \min(P[y, z])$ を得ます．
$P[x, y]$ の最小重み $m$ は 2 つの部分パスの最小値の最小なので以下が成り立ちます．

$$ \begin{alignedat}{2} m &= \min(P[x, y]) \\ &= \min(\min(P[x, z]), \min(P[y, z])) \\ &= \min(f_{x, z}, f_{y, z}) \\ \end{alignedat} $$

系 2 によると $f_{x,z}, f_{x, y}, f_{z, y}$ のうち，少なくとも $2$ つが最小値です．
いま，背理法の仮定により頂点対 $(x, y)$ は $f_{x, y} \gt \min(P[x, y]) = m$ です．
よって，$f_{x, z} = f_{y, z} = m$ が示せました．

x - z パスの中で，重みが $m$ かつ $z$ に最も近い辺を $(u, v)$ とし，$v$ が $z$ 側の頂点とします．

アルゴリズムがグラフ $G$ 上で最小 $x_1$ - z カット $(X_1, Z)$ と最小 u - v カット $(U, V)$ を作ったときを考えます．
補題 3 によって以下がいえます．

最小 $x_1$ - z カットでは，$x, u, v \in X_1$，$y, z \in Z$ となる
最小 u - v カットでは，$x, y, u \in U$，$v \in V$ となる．$z$ が $U$ と $V$ のどちらに入るかは定まらない

ここで，補題 1 を使い最小 $x_1$ - z カットに交差しない u - v カット $C^{\star}$ を作ります．
このとき，$z \in U$ の場合には，$C^{\star} = (U \cup Z, V \cap X_1)$ ととります．
$z \in V$ の場合には，$C^{\star} = (U \cap X_1, V \cup Z)$ ととります．

$z \in U$ のとき，$C^{\star}$ は $v$ と $z$ を分割します
この場合，$C^{\star}$ は容量 $m$ で $v$ と $z$ を分けるカットであるため，$f_{v, z} \le m = \min(P[x, y])$ となります．
$P_{v, z}$ は $P$ より短いため $f_{v, z} = \min(P[v, z])$ となります．
これは，$m$ 以下の重みをもつ辺が $z$ よりに存在することになり矛盾します．
$z \in V$ のとき，$C^{\star}$ は $x$ と $y$ を分割します
この場合，$C^{\star}$ は容量 $m$ で $x$ と $y$ を分けるカットであるため，$f_{x, y} \le m = \min(P[x, y])$ となります．これは背理法の仮定に矛盾します．

問題

例としてパ研合宿 2024 第 1 日「SpeedRun」R - Maximum Water Flowを解きます．

問題概要
$N$ 頂点 $M$ 辺の容量付き無向連結グラフが与えられる．任意の異なる頂点 $i, j$ について，最大流の値を $f(i, j)$ とする．
$(1, 2, \cdots, N)$ の順列 $P = (P_1, P_2, \cdots, P_N)$ のうち，すべての $1$ 以上 $N$ 以下の整数について $P_i \ne i$ を満たすものについて $\sum_{i = 1}^{N} f(i, P_i)$ の最大値を求めよ．

解法
$\text{cost}[i][j]$ を $i$ から $j$ への最大流の値とします．$N \le 100$ なので $N \times N$ 行の行列 cost を作ることができます．
今回はフロー等価木の木構造は不要なので，cost 行列を直接構築します．cost 行列がつくれればハンガリアン法を使うことで割当の最大値が求まります．
コードの主要な部分を解説します．記事や問題概要は one-based だったのに対し，コードは zero-based であることに注意してください．
$5$ 行目で，s - t 間の最大流をもとめ，$6$ 行目で s - t 最小カットを求めています．
$13$ 行目は $s$ とその親 $t$ の最大流の値をそのまま表に書くだけです．
$14 - 18$ 行目では $s$ と $i \lt s$ となる頂点の最大流の値を設定します．
頂点番号が $s$ 以下の頂点はすでに木の位置が決まっているため，s - i パスの最小重みとすることができます．

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
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auto parent = vector(N, 0);
auto cost = vector(N, vector<long long>(N));
for (int s = 1; s < N; ++s) {
 const auto t = parent[s];
 const auto f = dinic.solve(s, t);
 const auto cut = dinic.minimum_cut(s);
 for (int i = s + 1; i < N; ++i) {
 if (parent[i] == t and cut[i]) {
 parent[i] = s;
 }
 }

 cost[s][t] = cost[t][s] = f;
 for (int i = 0; i < s; ++i) {
 if (i != t) {
 cost[s][i] = cost[i][s] = min<long long>(f, cost[t][i]);
 }
 }

 dinic.clear();
}

提出コード

参考

文脈からグラフが明らかなときは，$f_{s, t}$ と表記します ↩︎
Gomory-Hu 木は cut equivalent tree ともよばれます ↩︎
詳しくはGomory-Hu 木を参照してください ↩︎

Gomory-Hu 木

Tue, 23 Dec 2025 00:00:00 +0900

はじめに

この記事は数理最適化 Advent Calendar 2025 の 23 日目の記事です．
この記事では Gomory-Hu 木を紹介します．Gomory-Hu 木とは無向グラフのすべての頂点対の最小カットの情報を持つ木のことです．
まず，無向グラフの s - t カットを紹介し，カット関数が対称劣モジュラ関数であることを示します．次に，Gomory-Hu 木の定義といくつかの補題を示します．最後に Gomory-Hu 木を構築するアルゴリズムの説明とその証明を行います．
実装は今回紹介するアルゴリズムより Gusfield によって提案されたアルゴリズムの方が簡単です．こちらについては別の記事で扱います．

無向グラフの s - t カット

頂点集合 $V$ と無向辺 $E$ からなる無向グラフ $G(V, E)$ が与えられます．辺 $(u, v)$ には容量 $c_{uv} \ge 0$ が定まっているものとします．
任意の頂点集合 $S \subseteq V$ に対し，辺の一方の端点のみが $S$ に属する辺集合を $\delta(S)$ とします．
このときカット関数を以下のように定義し，この値をカットの容量と呼びます．

$$c(S) = \sum_{(u, v) \in \delta(S)} c_{uv}$$

ただし，$\emptyset \subsetneq S \subsetneq V$ を満たす頂点集合 $S$ をカットと呼ぶことにします．今回は無向グラフを扱っているため $c(S) = c(V \setminus S)$ が成り立ちます．
また，2 つの異なる頂点 $s$ と $t$ について $|S \cap \{s, t\}| = 1$ となるカット $S$ を s - t カットと呼びます．そのうち容量が最小のものを最小 s - t カットと呼び，その容量を $\lambda_{s, t}$ で表します．

下のグラフを例に，$s$ に $1$，$t$ に $6$ を選んだときの s - t カットをいくつか見ていきます．

$S = \{1, 2, 3 \}$ は s - t カットのうちの 1 つです． $S$ に属する頂点を赤，$V \setminus S$ に属する頂点を青で示します．
辺の一方の端点のみが $S$ に属する辺は $(2, 4)$ と $(3, 5)$ です．よって，このカットの容量は $4 + 6 = 10$ となります．

$S = \{1, 3, 4 \}$ も s - t カットです．
このカットの容量は $2 + 2 + 6 + 4 + 7 + 9 = 30$ となります．

$S = \{1 \}$ も s - t カットです．
このカットの容量は $2 + 5 = 7$ となります．
$s$ に $1$，$t$ に $6$ を選んだとき $7$ より容量の小さい s - t カットは存在しないためこのカットは最小 s - t カットです．

カット関数の劣モジュラ性

関数 $f: 2^V \rightarrow \mathbb R$ は，任意の $A, B \subseteq V$ で以下の不等式が成立するとき劣モジュラであると呼ばれます．

$$f(A) + f(B) \ge f(A \cap B) + f(A \cup B)$$

また，関数 $f$ は任意の $S \subseteq V$ について $f(S) = f(V \setminus S)$ が成り立つとき対称であると呼ばれます．
対称で劣モジュラな関数は対称劣モジュラ関数と呼ばれます．

無向グラフのカット関数 $c(S)$ が対称劣モジュラ関数であることを示します．
頂点集合 $V$ を $V_1 = A \setminus B, V_2 = B \setminus A, V_3 = A \cap B, V_4 = V \setminus (A \cup B)$ の $4$ つに分割します．

辺の $2$ つの端点がそれぞれ $V_a$，$V_b$ に属する辺集合の容量の和を $\mathrm{cap}(a, b)$ とします．今回は無向辺を扱っているため $\mathrm{cap}(a, b) = \mathrm{cap}(b, a)$ となります．
このとき，以下の式が成り立ちます．

$c(A) = \mathrm{cap}(3, 4) + \mathrm{cap}(3, 2) + \mathrm{cap}(1, 4) + \mathrm{cap}(1, 2)$
$c(B) = \mathrm{cap}(3, 4) + \mathrm{cap}(3, 1) + \mathrm{cap}(2, 4) + \mathrm{cap}(2, 1)$
$c(A \cup B) = \mathrm{cap}(3, 4) + \mathrm{cap}(1, 4) + \mathrm{cap}(2, 4)$
$c(A \cap B) = \mathrm{cap}(3, 1) + \mathrm{cap}(3, 2) + \mathrm{cap}(3, 4)$

これらを整理すると

$$c(A) + c(B) - c(A \cup B) - c(A \cap B) = \mathrm{cap}(1, 2) + \mathrm{cap}(2, 1) = 2\mathrm{cap}(1, 2) \ge 0$$

となり，関数 $c(S)$ は劣モジュラ関数であることがわかります．
また，関数 $c(S)$ は $c(S) = c(V \setminus S)$ が成り立つため対称です．
以上により，無向グラフのカット関数が対称劣モジュラ関数であることが示せました．

Gomory-Hu 木

木から辺 $(u, v)$ を取り除いたときにできる $u$ を含む連結成分の頂点集合を $C_{uv}$ とします．
Gomory-Hu 木は以下のように定義されます．

無向グラフ $G(V, E)$ の Gomory-Hu 木 $T(V, F)$ は，木のすべての辺 $(u, v) \in F$ について，$C_{uv}$ が $G$ の最小 u - v カットとなるような木である．つまり，$c(C_{uv}) = \lambda_{u, v}$ となる¹．
各辺 $(u, v) \in F$ の重みを $w(u, v)$ とすると，$w(u, v) = \lambda_{u, v}$ が成り立つ．

Gomory-Hu 木の定義では，木の辺となるような頂点対が $G$ の最小カットとなることのみを要求しています．
あとで示しますが，この定義は任意の頂点対に拡張することができ，結果として Gomory-Hu 木は次の性質を持つといえます．

$V$ 上の全域木 $T(V, F)$ である（ただし，$F \subseteq E$ とは限らない）．
任意の異なる $2$ 頂点 $s, t \in V$ について，$T$ 上の最小 s - t カットは $G$ 上の最小 s - t カットとなり，その容量は一致する．

以下の図を例に Gomory-Hu 木の性質を確認します．

グラフの頂点 $1$ と頂点 $6$ の最小カットは $\{1\}$ でその容量は $7$ です．一方，木の頂点 $1$ と頂点 $6$ の最小カットは $\{1\}$ でその容量は $7$ です．
グラフの頂点 $3$ と頂点 $5$ の最小カットは $\{1, 3\}$ でその容量は $10$ です．一方，木の頂点 $3$ と頂点 $5$ の最小カットは $\{1, 3\}$ でその容量は $10$ です．

このように，任意の異なる 2 頂点 $s$，$t$ について，木の最小 s - t カットはグラフの最小 s - t カットになり，その容量は一致します．
木の最小 s - t カットは，頂点 $s$ から頂点 $t$ へのパスのうち最も重みの小さい辺 $e$ を削除したときの一方の連結成分となり，カットの容量は辺 $e$ の重みとなるため簡単に求めることができます．

Gomory-Hu 木は $n - 1$ 回の最小 s - t カット計算で求めることができます．
Gomory-Hu のアルゴリズムを紹介する前に，準備としていくつかの補題を導入し，Gomory-Hu 木の性質が定義から導けることを示します．

補題 1

長さ $k \ge 2$ の互いに異なる頂点列 $v_1, v_2, v_3, \cdots, v_k$ について，$\lambda_{v_1, v_k} \ge \min \limits_{1 \le i \le k - 1} \lambda_{v_i, v_{i + 1}}$ が成り立つ．

補題 1 を示します．
$U$ を最小 $v_1$ - $v_k$ カットとし，$v_1 \in U$，$v_k \notin U$ とします．
このとき，頂点列のどこかに $v_i \in U$，$v_{i + 1} \notin U$ であるような $i$ が存在します．

直観的には，次のように考えることができます．
$U$ に属する頂点を $\circ$，属さない頂点を $\times$，不明な頂点を $?$ とします．
このとき，頂点列の所属は $(\circ, ?, ?, \cdots, ?, \times)$ と表せますが，$?$ がどのように決められようとどこかに $\circ, \times$ というペアが現れます．これは，$v_i \in U$，$v_{i + 1} \notin U$ であるような $i$ が存在しているということです．

よって，$U$ は $v_i$ - $v_{i+1}$ カットでもあります．ただし，$U$ は最小 $v_i$ - $v_{i+1}$ カットとは限らないため，$\lambda_{v_i, v_{i + 1}} \le c(U) = \lambda_{v_1, v_k}$ となります．
以上により，$\lambda_{v_1, v_k} \ge \min_{1 \le i \le k - 1} \lambda_{v_i, v_{i + 1}}$ が示せました．

補題 2

$s, t \in V$ を異なる 2 頂点とし，最小 s - t カットを $A$ とする．任意の異なる 2 頂点 $u, v \notin A$ について，$A \subseteq B$ か $A \cap B = \emptyset$ となるような最小 u - v カット $B$ が存在する．

この補題は，すでに存在する最小 s - t カット $A$ と交差しないように最小 u - v カット $B$ をとることができることを意味します．図は $A \subseteq B$ の場合を表しています．

補題 2 を示します．
最小 s - t カットを $A$，最小 u - v カットを $B$ とします．$A \subseteq B$ か $A \cap B = \emptyset$ の場合は補題が成立しているので，$A \nsubseteq B$ かつ $A \cap B \ne \emptyset$ を仮定します． $s \in A$，$s, u \in B$ であるとします²．
このとき，$A \cup B$ が最小 u - v カットとなることを示します．

$A \cup B$ は u - v カット
$u \in B$ であるため $u \in A \cup B$ であり，$v \notin A$ かつ $v \notin B$ であるため $v \notin A \cup B$ です．
よってこのカットは u - v カットです．
$c(A \cup B) = c(B)$
- $c(A \cup B) \le c(B)$
  仮定より，$s \in A \cap B$，$t \notin A \cap B$ であるため，$A \cap B$ は s - t カットです．
  $A$ は最小 s - t カットで $A \cap B$ も s - t カットであるため，$c(A \cap B) \ge c(A)$ となります．
  この不等式をカットの劣モジュラ性である $c(A) + c(B) \ge c(A \cap B) + c(A \cup B)$ に代入することで，$c(A \cup B) \le c(B)$ を得ます．
- $c(A \cup B) \ge c(B)$
  $B$ は最小 u - v カットで $A \cup B$ も u - v カットであるため，$c(A \cup B) \ge c(B)$ を得ます．

以上により，$A \cup B$ は最小 u - v カットといえます．$A \cup B$ を新しく $B$ ととることで，$A \subseteq B$ であるような最小 u - v カット $B$ とすることができます．

Gomory-Hu 木の性質

Gomory-Hu 木の定義から Gomory-Hu 木の性質が導かれることを示します．

$T$ の s - t パス上の最小重みの辺を $(a, b) \in F$ とします．このとき，$C_{ab}$ は s - t カットとなり，最小 s - t カットの容量 $\lambda_{s, t}$ が $w(a, b)$ と一致することを示します．

$\lambda_{s, t} \ge w(a, b)$
s - t パスの頂点列を考えます．
$v_1 = s$，$v_k = t$ とすると，補題 1 より $\lambda_{s, t} \ge \min \limits_{1 \le i \le k - 1} \lambda_{v_i, v_{i + 1}}$ が成り立ちます．
Gomory-Hu 木の定義より $\min \limits_{1 \le i \le k - 1} \lambda_{v_i, v_{i + 1}} = \lambda_{a, b} = w(a, b)$ なので，$\lambda_{s, t} \ge w(a, b)$ が成り立ちます．
$\lambda_{s, t} \le w(a, b)$
$\lambda_{s, t}$ は定義より最小 s - t カットの値です．
辺 $(a, b) \in F$ は $s$ から $t$ への唯一のパス上に存在するため，$C_{ab}$ は s - t カットでもあります．このカットの容量は Gomory-Hu 木の定義から $w(a, b)$ です．よって，$\lambda_{s, t} \le c(C_{ab}) = w(a, b)$ が成り立ちます．

以上により，$C_{ab}$ が s - t カットであり，$\lambda_{s, t} = w(a, b)$ となることが示せました．

Gomory-Hu のアルゴリズム

Gomory-Hu 木 $T$ を構築するアルゴリズムを説明します．
Gomory-Hu 木は，木の各辺がある頂点対の最小カットを表し，その結果として任意の $2$ 頂点間の最小カットが木上で読み取れるという形になっていました．
そこで直感的には，最初に $G$ のすべての頂点を $1$ つの縮約頂点として持ち，辺がある頂点対の最小カットとなるように縮約頂点を分割していくことで木を構築すればよさそうです．
ただし，適当に分割してしまうと以前の分割と交差してしまいすでに作った構造を壊してしまうことがあります．
Gomory-Hu のアルゴリズムはこの問題に対処するために，すでにできている縮約頂点をそれぞれ 1 頂点に縮約したグラフの上で最小カットを計算し，その結果を使って縮約頂点を分割します．
こうすると新しい分割は以前の分割を壊さない形で実行することができるため，分割を積み重ねながら木を安全に構築できます．
具体的なアルゴリズムは以下の通りです．

初期化
- $V(T) = \{V(G)\}$
- $E(T) = \emptyset$
要素数が $2$ 以上の $X \in V(T)$ がある間以下を行う．
- $X$ の中から異なる $2$ 頂点 $s, t \in X$ を選ぶ．
- 縮約グラフ $H$ を構築する．
  - $T$ から $X$ を削除したときの連結成分を $C_1, C_2, \cdots, C_k$ とし，$C_i$ のすべての要素の和集合を $S_i$ とする．
  - $G$ 上で各 $S_i$ を $1$ つの頂点に縮約したグラフを $H$ とする．縮約で生じる並行辺は維持し，同一成分内の辺を除去する．
- $H$ 上で最小 s - t カット $S$ を求め，$A = X \cap S$，$B = X \setminus S$ とする．
- $X$ を $A$ と $B$ に分割する．
  - $V(T) = (V(T) - \{ X\}) \cup \{A, B\}$ と更新する．
  - 新しい辺 $AB$ を $T$ に追加し，その重みを先程求めた最小 s - t カットの値とする．
- 既存の辺を置き換える．
  - $X$ に接続する辺 $XY \in E(T)$について以下を行う．
    - $XY$ を $E(T)$ から削除する．
    - $Y$ が属する側の縮約頂点 $v_{S_i}$ について，$v_{S_i} \in S$ なら $AY$ を，そうでないなら $BY$ を追加する．追加する辺の重みは $XY$ と同じとする．
単一集合となったすべての頂点 $\{v\}$ について以下を行う．
- 頂点 $\{v\}$ を $v$ に，辺 $(\{u\}, \{v\})$ を $(u, v)$ に置き換える．
- Gomory-Hu 木 $(V(T), E(T))$ を返す．

アルゴリズムの実行例

下のグラフの Gomory-Hu 木を求めます．

Phase 1

はじめ，$V(T) = \{ \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \}$ です．
$X$ として $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ を選び，縮約グラフ $H$ を構築します．
今回は $X$ に接続する辺はないので，$H = G$ となります．
下の左の図が $T$ で，右の図が $H$ です．

最小 s - t カットの計算
$s$ と $t$ は任意に選べます．今回は $s = 3$，$t = 5$ として，$H$ での最小 s - t カットを求めると，$S = \{1, 3\}$ となり，その容量は $10$ です．
$X$ の分割
$X$ を $A = X \cap S = \{1, 3\}$ と $B = X \setminus S = \{2, 4, 5, 6\}$ に分割し，重み $10$ の辺を張ります．

これらの操作により，$T$ は以下のようになります．

Phase 2

$X$ として $\{2, 4, 5, 6\}$ を選び，縮約グラフ $H$ を構築します．
$G$ について，$T$ から $X$ を削除したときの連結成分 $C_1$ の展開 $S_1$ を $1$ つの頂点 $v_{S_1}$ として縮約します．

最小 s - t カットの計算
$s = 5, t = 4$ とすると，$H$ での最小 s - t カットは $S = \{\{1, 3\}, 2, 5\}$ となり，その容量は $14$ です．
$X$ の分割
$X$ を $A = \{2, 5\}$ と $B = \{4, 6\}$ に分割し，重み $14$ の辺を張ります．
既存の辺の付け替え
$X$ の分割後，更新前の $T$ の辺 $(\{1, 3\}, X)$ がどうなるか考えます．$v_{S_1} \in S$ であるため，この辺は $A$ と接続します．
よって辺 $(\{1, 3\}, X)$ は辺 $(\{1, 3\}, A)$ に付け替えられます．

Phase 3

$X$ として $\{1, 3\}$ を選び，縮約グラフ $H$ を構築します．
$S_1$ を $1$ つの頂点 $v_{S_1}$ として縮約します．

最小 s - t カットの計算
$s = 1, t = 3$ とすると，グラフ $H$ での最小 s - t カットは $S = \{1\}$ となり，その容量は $7$ です．
$X$ の分割
$X$ を $A = \{1\}$ と $B = \{3\}$ に分割し，重み $7$ の辺を張ります．
既存の辺の付け替え
$X$ の分割後，更新前の $T$ の辺 $(X, \{2, 5\})$ がどうなるか考えます．$v_{S_1} \notin S$ であるため，この辺は $B$ と接続します．
よって辺 $(X, \{2, 5\})$ は辺 $(B, \{2, 5\})$ に付け替えられます．

Phase 4

$X$ として $\{2, 5\}$ を選び，縮約グラフ $H$ を構築します．
$S_1$ と $S_2$ をそれぞれ $1$ つの頂点 $v_{S_1}, v_{S_2}$ として縮約します．

最小 s - t カットの計算
$s = 2, t = 5$ とすると，グラフ $H$ での最小 s - t カット $S$ は $\{2\}$ となり，その容量は $8$ です．
$X$ の分割
$X$ を $A = \{2\}$ と $B = \{5\}$ に分割し，重み $8$ の辺を張ります．
既存の辺の付け替え
$X$ の分割後，更新前の $T$ の辺 $(\{3\}, X)$ がどうなるか考えます．
$v_{S_1} \notin S$ であるため，この辺は $B$ と接続します．また，更新前の $T$ の辺 $(X, \{4, 6\})$ は $v_{S_2} \notin S$ であるため，この辺も $B$ と接続します．
よって辺 $(\{3\}, X)$ は辺 $(\{3\}, B)$ に，辺 $(X, \{4, 6\})$ は $(B, \{4, 6\})$ に付け替えられます．

Phase 5

$X$ として $\{4, 6\}$ を選び，縮約グラフ $H$ を構築します．
$S_1$ を $1$ つの頂点 $v_{S_1}$ として縮約します．

最小 s - t カットの計算
$s = 4, t = 6$ とすると，グラフ $H$ での最小 s - t カット $S$ は $\{4, \{1, 2, 3, 5\}\}$ となり，その容量は $12$ です．
$X$ の分割
$X$ を $A = \{4\}$ と $B = \{6\}$ に分割し，重み $12$ の辺を張ります．
既存の辺の付け替え
$X$ の分割後，更新前の $T$ の辺 $(5, X)$ がどうなるか考えます．$v_{S_1} \in S$ であるため，この辺は $A$ と接続します．
よって辺 $(5, X)$ は辺 $(5, A)$ に付け替えられます．

Phase 6

$T$ のすべての頂点の要素数が $1$ なので Step 2 を終了します．
Step 3 は省略します．

証明

アルゴリズムが Gomory-Hu 木を構築する証明をします．
表記を整理しておきます．

$\lambda_{s,t;G}$：グラフ $G$ の最小 s - t カットの容量
$\lambda_{s,t;H}$：縮約グラフ $H$ の最小 s - t カットの容量
$w(YZ)$：木 $T$ の辺 $YZ$ の重み
$C^{\prime}_{YZ}$：木 $T$ から辺 $YZ$ を削除したときにできる 2 つの連結成分のうち，$Y$ に属する連結成分をすべて展開したもの

アルゴリズムの開始時と各イテレーション終了時に，次の不変条件が成り立つことを示します．

木 $T$ の任意の辺 $YZ$ に対してある頂点 $s \in Y, t \in Z$ が存在し，$C^{\prime}_{YZ}$ は元のグラフ $G$ における最小 s - t カットであり，$\lambda_{s, t;G} = w(YZ)$ となる

まず，アルゴリズムの開始時には辺がないので不変条件は成り立ちます．
このあとで，各イテレーション時に以下の $3$ つの辺について不変条件が成り立つことを示します．

新しく追加される辺 $AB$
既存の辺 $XY$ から付け替えられた辺
その他の辺

アルゴリズムの終了時には縮約頂点はすべて展開され，木 $T$ は Gomory-Hu 木の定義を満たしているため，アルゴリズムは Gomory-Hu 木を構築するといえます．

a. 新しく追加される辺 $AB$

アルゴリズムは縮約グラフ $H$ 上で $s, t \in X$ について最小 s - t カット $S$ を求め，$A = X \cap S$，$B = X \setminus S$ と分割します．その上で，辺 $AB$ の重み $w(AB)$ を $\lambda_{s,t;H}$ とします．

辺 $AB$ が不変条件を満たすことを示すため，以下を確認します．

$H$ 上の最小 s - t カットを展開した頂点集合は $G$ 上の最小 s - t カットとなりその容量は一致する．つまり，$\lambda_{s, t;G} = w(AB) = \lambda_{s,t;H}$ となる
$H$ 上の最小 s - t カットを展開した頂点集合は $C^{\prime}_{AB}$ となる

1. $H$ 上の最小 s - t カットを展開した頂点集合は $G$ 上の最小 s - t カットとなりその容量は一致する

アルゴリズムのあるイテレーションで，$S_1, \cdots, S_k$ を順番に縮約していくことを考えます．$S_i$ までを縮約したグラフを $H_i$ とします．$H_0$ はグラフ $G$ に，$H_k$ はアルゴリズムで述べられている縮約グラフ $H$ に一致します．

不変条件より，木の各辺 $YZ$ に対してある頂点対 $(s_{YZ}, t_{YZ})$ が存在し，$C^{\prime}_{YZ}$ は $G$ 上の最小 $s_{YZ}$ - $t_{YZ}$ カットになっています．頂点 $X \in T$ を削除したときの連結成分 $C_i$ と $X$ を結ぶ辺を $Y_i X$ とおくと，$S_i = C^{\prime}_{Y_i X}$ が成り立ちます．
よって，各 $S_i$ はある頂点対 $(s_i, t_i)$ に対する最小 $s_i$ - $t_i$ カットです．
また，$S_i$ は $T \setminus X$ の連結成分から構成されているので，$s, t \notin S_i$ です．

各ステップ $i$ について，$H_i$ には $G$ における最小 s - t カットの容量である $\lambda_{s, t;G}$ と同じ容量の s - t カットが存在することを帰納法で示します．
$i = 0$ のとき，$H_0 = G$ なので自明です．
帰納法の仮定より，$H_i$ には容量 $\lambda_{s, t;G}$ の s - t カット $C$ があります．このとき，$S_{i + 1}$ を縮約して得られる $H_{i + 1}$ にも容量 $\lambda_{s, t;G}$ の s - t カットが存在することを示します．
補題 2 により $H_i$ の s - t カット $C$ は $S_{i + 1}$ を交差しないようにとりなおすことができます．よって，$S_{i + 1}$ を縮約して $H_{i + 1}$ を構築しても，容量 $\lambda_{s, t;G}$ の s - t カットが存在するといえます．
よって，$H$ には容量 $\lambda_{s, t;G}$ の s - t カットが存在することが示せました．

任意の $H$ 上の s - t カットは，縮約を展開すれば $G$ 上の s - t カットになります．縮約は辺の容量を変えないので，カットの容量も維持されます．
したがって，任意の $H$ 上の s - t カットの容量 = 対応する $G$ 上の s - t カットの容量 $\ge \lambda_{s, t;G}$ となり，$H$ の最小 s - t カットの容量は $\lambda_{s, t;G}$ となります．

2. $H$ 上の最小 s - t カットを展開した頂点集合は $C^{\prime}_{AB}$ となる

$H$ の最小 s - t カット $S$ を展開して得られる頂点集合は，アルゴリズムにおける辺の付け替え規則から，更新後の木 $T^{\prime}$ で辺 $AB$ を削除したときの $A$ 側成分 $C^{\prime}_{AB}$ と一致します．
これは，$X$ 内の頂点のうち $S$ に属するものは $A$ に，また各連結成分 $C_i$ に対応する縮約頂点 $v_{S_i}$ が $S$ に属する場合に限り，その成分は $A$ 側に接続されるように付け替えられているためです．

以上のことから辺 $AB$ が不変条件を満たすことがわかりました．

b. 既存の辺 $XY$ から付け替えられた辺

アルゴリズムは，縮約グラフ $H$ 上で $s, t \in X$ について最小 s - t カット $S$ を見つけ，$X$ を $A = X \cap S$ と $B = X \setminus S$ に分割します．もともと $X$ と $Y$ の間に張られていた辺 $XY$ は $A$ に付け替えられて $AY$ になるか，$B$ に付け替えられて $BY$ になります．
以降は $A$ に付け替えられた場合を考えますが $B$ でも同じことがいえます．

$p \in X$，$q \in Y$ であり，XY の重みは $\lambda_{p, q}$ であったとします．

$X$ の最小 s - t カットを求め，$A$ と $B$ に分割したとき，$s \in A$，$t \in B$ であるとします．
$A$ と $B$ は $X$ を分割したものであるため，$C^{\prime}_{AY} = C^{\prime}_{XY}$ とみなすことができます．
辺 $AY$ の重みが $\lambda_{p, q}$ であることを $p \in A$ の場合と $p \notin A$ の場合について示します．

$p \in A$ の場合

辺 $AY$ の重みは $\lambda_{p, q}$ なので，不変条件を満たします．

$p \notin A$ の場合

$\lambda_{s, q} = \lambda_{p, q}$ であることを示します．

$\lambda_{s, q} \ge \lambda_{p, q}$
頂点列 $s, t, p, q$ を考えると補題 1 より $\lambda_{s, q} \ge \min \{\lambda_{s, t}, \lambda_{t, p}, \lambda_{p, q} \}$ が言えます．
$H$ 上の最小 s - t カットを展開したものを $\bar S$ とします．
このとき，$s, q \in \bar S$，$t, p \in B \subseteq V \setminus \bar S$ です．

カット関数は対称なので $V \setminus \bar S$ も最小 s - t カットです．
そこで，補題 2 を $A = V \setminus \bar S$，$(u, v) = (s, q)$ に適用します（このとき $s, q \notin A$ が成り立ちます）．
すると，ある最小 s - q カット $C^{\prime}$ が存在して
$$(V \setminus \bar S) \subseteq C^{\prime} \text{または} (V \setminus \bar S) \cap C^{\prime} = \emptyset$$
が成り立ちます．
前者なら無向グラフなので $V \setminus C^{\prime}$ も最小 s - q カットであり，こちらは $(V \setminus \bar S) \cap (V \setminus C^{\prime}) = \emptyset$ となるので，$C = V \setminus C^{\prime} \subseteq \bar S$ とできます．
後者ならそのまま $C = C^{\prime}$ とおけば $C \subseteq \bar S$ です．
よって，ある最小 s - q カット $C$ は，$C \subseteq \bar S$ であるようにとることができます．
つまり，最小 s - q カットは $t, p \in B$ となるようにとれるので，$\lambda_{s, q}$ は辺 $(t, p)$ の容量に依存しないことがわかります．
よって，大きな容量をもつ辺 $(t, p)$ を追加したとしても不等式が成り立ち，$\lambda_{s, q} \ge \min \{\lambda_{s, t}, \lambda_{p, q} \}$ が成立します．
また，最小 s - t カットは p-q カットでもあるため，$\lambda_{s, t} \ge \lambda_{p, q}$ が成り立ちます．
よって，$\lambda_{s, q} \ge \lambda_{p, q}$ が示せました．
$\lambda_{s, q} \le \lambda_{p, q}$
$C^{\prime}_{XY}$ は $X$ と $Y$ を分けるカットであり，$p \in X$ と $q \in Y$ を分離していて，重みは $\lambda_{p, q}$ でした．
$s \in A \subset X$ なので，$C^{\prime}_{XY}$ は s - q カットでもあります．
よって，$\lambda_{s, q} \le \lambda_{p, q}$ が示せました．

以上より，$\lambda_{s, q} \ge \lambda_{p, q}$ と $\lambda_{s, q} \le \lambda_{p, q}$ の両方が示せたので，$\lambda_{s, q} = \lambda_{p, q}$ が成り立ちます．したがって $w(AY)=w(XY)=\lambda_{p,q}=\lambda_{s,q}$ であり，$s \in A,\, q \in Y$ をとれば辺 $AY$ も不変条件を満たします．

c. その他の辺

アルゴリズムで選んだ $X$ に接続していない辺 $YZ$ は，木 $T$ 上での位置も対応するカット $C^{\prime}_{YZ}$ も変化しないため，不変条件を満たします．

参考

カット関数は $G$ に対して定義されています ↩︎
必要に応じて，$B$ を $V \setminus B$ に置き換える操作と名前の付け替えを行います ↩︎

Optimum Branchings の Tarjan の実装

Fri, 04 Jul 2025 00:00:00 +0900

Optimum Branchings の Tarjan の実装

Optimum Branchings と Edmonds のアルゴリズムの続きです．
Tarjan の実装は Edmonds のアルゴリズムを改良し，適切なデータ構造を用いることで計算量を $O(|E| \log |V|)$ に改善したものです．ここで $|E|$ はグラフの辺の数を，$|V|$ は頂点の数を表します．

Edmonds のアルゴリズムは，クリティカルグラフを作り，クリティカルグラフに閉路が形成されたらその閉路を $1$ つの超頂点に縮約し，縮約したグラフを再帰的に処理していくという流れでした．縮約グラフの最適 branching をもとに，元のグラフ上での対応する辺集合を復元することで最終的な最適 branching を構築します．

これに対し，Tarjan の実装はおおむね以下のような流れになります．
まだ処理されていない頂点について，その頂点に入る最大の重みを持つ辺を採用します．この辺は最適 branching の構築に必要な構造（森）に記録していきます．もし採用した辺によって閉路が形成された場合，閉路を $1$ つの超頂点に縮約します．その際，閉路の外から閉路に入る辺の重みを修正します．最終的な最適 branching は森から $O(|V|)$ で構築することができます．
Tarjan の実装は，縮約のたびにグラフを再構築することを避け，閉路の展開処理を主アルゴリズムから切り離したことで，計算量を改善しているといえます．

Tarjan の実装では，「閉路の検出」，「超頂点の管理」，「各頂点に入る辺の管理」が必要です．これらを効率的に行うために，Union Find と遅延伝播マージ可能ヒープを使います．

閉路の検出
- アルゴリズムでは各頂点についてその頂点に入る重み最大の辺を採用していきます．頂点を Union Find で管理し，辺が採用されるたびにその端点をマージしていきます．各頂点は最大でも 1 本の入力辺しかもたないため，採用された辺 $(u, v)$ の $u$ と $v$ が同じ集合なら閉路が形成されたことになります．
超頂点の管理
- 閉路が超頂点に縮約されたとき，各頂点がどの超頂点に所属しているかを管理する必要があります．これは，Union Find で管理することができます．ただし，この Union Find は閉路の検出用の Union Find とは別でもつ必要があります．
各頂点に入る辺の管理
- 各頂点に入る辺を管理するデータ構造には，以下の $4$ つの操作が必要です．
  1. 要素の追加
  2. 最大要素の抽出
  3. $2$ つの集合のマージ
  4. 集合内の全要素の重みの定数変更
- これらの操作がすべて対数時間で実行できる場合，Tarjan の実装は $O(|E| \log |V|)$ で動作します．
  Skew Heap は操作 1, 2, 3 を償却 $O(\log |N|)$ で実行できます．これに遅延伝播機能をつけることで操作 4 を定数時間で実行できます．
- 密グラフの場合は，隣接行列を使うことで操作 2, 3, 4 を $O(|V|)$ で実行できます．この場合 Tarjan の実装は $O(|V|^2)$ で動作します．

Tarjan の実装

アルゴリズムは，森 $F$ を構築する Algorithm BRANCH と，森 $F$ から branching を構築する Algorithm LEAF の $2$ つからなります．
森 $F$ は採用された $G$ の辺を頂点とし，縮約過程を親子関係として記録するデータ構造です．

Algorithm BRANCH

このアルゴリズムは，森 $F$ を構築します．

変数
- S: 強連結成分を管理．はじめ，各頂点がそれぞれ自分だけを要素としてもつ強連結成分となる．
- W: 弱連結成分を管理．はじめ，各頂点がそれぞれ自分だけを要素としてもつ弱連結成分となる．
- $min[v]$: 超頂点 $v$ 内で最終的に根に選ばれる頂点
- $roots$: 入辺のない強連結成分の集合
- $rset$: 正の重みを持つ入辺がない（超）頂点の集合
$roots$ に要素がある間，以下の処理を繰り返す
- $roots$ から任意の（超）頂点 $r$ を取り出す
- $r$ に入る重みが $0$ より大きい辺がなければ，$r$ を $rset$ に格納する
- そうでなければ，$r$ に入る重み最大の辺 $(u, v)$ を選ぶ
- $(u, v)$ を表す頂点を $F$ に追加する
  - $r$ が超頂点なら，$F$ の $r$ が属する閉路の各頂点を $(u, v)$ の子とする
- $u$ と $v$ が異なる弱連結成分に属していれば，$S$ の $2$ つの弱連結成分を結合する
- そうでなければ閉路が発生する
  - $C$ を $(u, v)$ を含む閉路とする
  - $W$ で $C$ に含まれるすべての強連結成分を $1$ つの超頂点 $r^{\prime}$ に縮約する
  - $C$ に含まれる最小重みの辺の行き先を $m$ とし，$min[r^{\prime}] = m$ とする
  - $r^{\prime}$ に外部から入る辺の重みを更新する
  - $r^{\prime}$ を $roots$ に追加する

Algorithm LEAF

Algorithm LEAF は $F$ から最適 branching $B$ を構築します．
$R = \lbrace min(i) | i \in rset \rbrace$，$N$ を $F$ の根の集合とします．

$R$ が空でないなら，$R$ から $v$ を 1 つ取り出す
$R$ が空の場合は，$N$ から任意の根 $(u,v)$ を選び $B$ に追加し，$v$ を処理対象とする
$F$ の $v$ に入る辺を表す頂点から根までのパス $P$ を特定する
$F$ からパス $P$ 上のすべての頂点およびそれらから出る全ての辺を削除する
この削除操作により，$N$ も更新される

この一連の処理を $R$ と $N$ がともに空になるまで繰り返すと，最適 branching $B$ が構築されます．

アルゴリズムの実行例

下のグラフの branching を求めます．

phase1

頂点 $0$ に入る重み最大の辺 $(2, 0)$ を選びます．森 $F$ に $2 \rightarrow 0$ を表す頂点を追加します．
同様に，頂点 $1$，$2$ に入る重み最大の辺 $(0, 1), (1, 2)$ を $F$に追加します¹．閉路 $0 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 0$ が見つかったので，これを超頂点 $A$ に縮約します． $(3, 1)$ の重みを $4 - 4 + 3 = 3$ に変更します．

phase2

頂点 $A$ に入る重み最大の辺 $(3, A)$ を選びます．$F$ に $3 \rightarrow A$ を追加します．
$(3, A)$ は超頂点 $A$ に入る辺なので，$3 \rightarrow A$ が親となるように $2 \rightarrow 0$，$0 \rightarrow 1$，$1 \rightarrow 2$ に辺をはります．
頂点 $3$ に入る重み最大の辺 $(A, 3)$ を選び，$F$ に追加します．
閉路 $A \rightarrow 3 \rightarrow A$ が見つかったので，これを超頂点 $B$ に縮約します．
$(4, A)$ の重みを $1 - 3 + 3 = 1$ に変更します．

phase3

頂点 $B$ に入る重み最大の辺 $(4, B)$ を選びます．$F$ に $4 \rightarrow B$ を追加します．
$(4, B)$ は超頂点 $B$ に入る辺なので，$4 \rightarrow B$ から $3 \rightarrow A$，$A \rightarrow 3$ に辺をはります．
頂点 $4$，$5$ に入る重み最大の辺 $(5, 4)$，$(B, 5)$ を選び，$F$ に追加します．
閉路 $B \rightarrow 5 \rightarrow 4 \rightarrow B$ が見つかったので，これを超頂点 $C$ に縮約します．
$(6, 4)$ の重みを $4 - 4 + 1 = 1$ に変更します．

phase4

頂点 $C$ に入る重み最大の辺 $(6, C)$ を選びます．$F$ に $6 \rightarrow C$ を追加します．
$(6, C)$ は超頂点 $C$ に入る辺なので，$6 \rightarrow C$ から $4 \rightarrow B$，$5 \rightarrow 4$，$B \rightarrow 5$ に辺をはります．
頂点 $6$ に入る重み最大の辺 $(C, 6)$ を選び，$F$ に追加します．
閉路 $C \rightarrow 6 \rightarrow C$ が見つかったので，これを超頂点 $D$ に縮約します．

phase5

頂点 $D$ に入る辺はないので，Algorithm BRANCH は終了します．

phase6

森 $F$ が求められたので，最適 branching $B$ を構築していきます．
$R = \lbrace 5 \rbrace$ から $5$ を取り出します．
$5$ に入る辺である $B \rightarrow 5$ から根までのパス $P$ を求め，これを削除します．

phase7

森の根である $C \rightarrow 6$ を取り出し，$B$ の辺として採用します．$C \rightarrow 6$ は実際には，$5 \rightarrow 6$ なので，$B$ では $(5, 6)$ を採用しています．
$6$ に入る辺は森にないので，パス $P$ の削除は行われません．
森の根である $5 \rightarrow 4$ も同様に処理をします．

phase8

森の根である $4 \rightarrow B$ を取り出し，$B$ の辺として採用します．$4 \rightarrow B$ は実際には，$4 \rightarrow 2$ なので，$B$ では $4 \rightarrow 2$ を採用しています．
根から $2$ に入る辺である $1 \rightarrow 2$ までのパスを求め削除します．

phase9

森の根である $A \rightarrow 3$，$2 \rightarrow 0$，$0 \rightarrow 1$ を処理します．
森のすべての要素を処理したのでアルゴリズムを終了します．

問題

Directed MST
- 提出コード

参考

$(3, 1)$ も $1$ に入る重み最大の辺ですが，ここでは $(0, 1)$ を選んだとします． ↩︎

Optimum Branchings と Edmonds のアルゴリズム

Fri, 20 Jun 2025 00:00:00 +0900

Optimum Branchings

有向グラフ $G = (V, E)$ が与えられます．各辺には重みが与えられ，辺 $e$ の重みと辺集合の重みをそれぞれ $w(e)$, $w(E)$ で表します．
$G$ の部分グラフ $G^{\prime} = (V, E^{\prime})$ のうち以下の 2 条件を満たすものを branching とよびます．

閉路を含まない
同じ頂点に入る辺は高々 $1$ 本

すべての branching の中で $w(E^{\prime})$ が最大のものを最適 branching（optimum branching）とよびます¹²．
この問題は，最小全域木問題の有向辺バージョンである最小全域有向木問題と等価の問題で，互いに線形時間で変換することができます．
下の図は有向グラフと対応する最適 branching の例です．$G^{\prime}$ の各コンポーネントは有向木なので，$G^{\prime}$は有向森になります．

以下ではいくつかの定義，補題，定理を確認したのち，最適 branching を求める Edmonds のアルゴリズムを説明します．
このアルゴリズムの計算量は $O(|E||V|)$ です．他にも $O(|E| \log |V|)$ の Tarjan の実装や $O(|E| + |V| \log |V|)$ の Gabow のアルゴリズムなどがあります．
また，最小重み有向木問題などのバリエーションを最適 Branching に帰着する方法と説明します．
最後に実装例としてAOJ - 最小全域有向木の提出コードへのリンクをはっておきます．

定義

critical

辺 $e = (u, v)$ が以下の 2 条件を満たすとき critical という．

$w(e) \gt 0$
$v$ に接続するすべての辺 $e^{\prime}$ に対して，$w(e) \ge w(e^{\prime})$

$G$ の全域部分グラフ $H$ が以下の条件を満たすとき critical subgraph という．特にそれ以上辺を追加できない critical subgraph を maximal critical subgraph という．

$H$ のすべての辺は critical
$H$ の各頂点の入次数は高々 $1$

下の図は maximal critical subgraph の例です．critical な辺を赤線で示しています．

eligible

辺 $e$ が入る頂点を $head(e)$ と表す．$G = (V, E)$ の branching $B$ に対して，$(B \backslash \lbrace (u, v) \in B : v = head(e) \rbrace) \cup \lbrace e \rbrace$ も branching になるとき，$e$ を eligible という．

補題 1

maximal critical subgraph $H$ は以下の性質を持ちます．

各コンポーネントは高々 1 つの閉路をもち，閉路は互いに素
$H$ に閉路がなければ最適 branching

証明

頂点 $v$ が $2$ つの有向閉路上にあるとします．このとき，次数が少なくとも $2$ 以上の頂点が存在します．これは critical subgraph の条件に反します．
$H$ に閉路がなければ $H$は branching です．任意の branching $B$ のすべての頂点 $v$ について以下が成り立ちます．
$w(B \cap \lbrace e | head(e) = v \rbrace) \le w(H \cap \lbrace e | head(e) = v \rbrace)$
これらをすべての頂点について足し合わせると $w(B) \le w(H)$ となり，$H$ が最適となります．

補題 2

辺 $e = (u, v) \in E \backslash B$ が eligible なことと，$B$ 上に $v$ から $u$ への有向パスがないことは同値

証明

「辺 $e = (u, v) \in E \backslash B$ が eligible」なら「$B$ 上に $v$ から $u$ への有向パスがない」
対偶として，$v$ から $u$ への有向パスがあるなら，$e$ は eligible ではないことを示します．
$v$ から $u$ への有向パスがあるため，$(u, v)$ を追加すると閉路が発生します．
これは eligible の定義に反するため，$e$ は eligible ではありません．
「$B$ 上に $v$ から $u$ への有向パスがない」なら「辺 $e = (u, v) \in E \backslash B$ が eligible」
$e$ を $B$ に追加したとき，$(x, head(e)) \in B$ の辺を削除すれば $v$ へ入る辺は高々 $1$ 本です．
また，$B$ には $v \rightarrow u$ パスがないので，$e$ を追加しても閉路は発生しません．
よって，$e$ は eligible です．

補題 3

$B$ を $G = (V, E)$ の branching，$C$ を $G$ の有向サイクルとする．$C \backslash B$ に eligible な辺がなければ， $|C \backslash B| = 1$ となる

証明

$C \backslash B$ に eligible な辺がないとき，$|C \backslash B|$ は 1 以外にならないことを示します．

$|C \backslash B| = 0$ にならない
$B$ は branching なので起こりません
$|C \backslash B| = 2$ にならない
$C \backslash B = \lbrace (s_1, t_1), (s_2, t_2) \rbrace$ と仮定します．
どちらの辺も eligible でないので，$B$ に $t_1$ から $s_1$ への有向パスと $t_2$ から $s_2$ への有向パスが存在します．
$C$ は閉路なので，$t_2$ から $s_1$ への有向パスと $t_1$ から $s_2$ への有向パスは $C$ 上に存在します．
よって，$B$ には，$t_2 \rightarrow \cdots \rightarrow \cdots s_1 \rightarrow t_1 \rightarrow \cdots \rightarrow s_2 \rightarrow t_2$ のようなパスができます．
これは，$B$ の中に閉路があるということになり，$B$ が branching という仮定に矛盾します．
$|C \backslash B| = k \gt 2$ にならない
$|C \backslash B| = 2$ に帰着します．

定理 1

$G$ の maximal critical subgraph $H$ に対し，以下の最適 branching $B$ が存在する．

$H$ に含まれるすべての有向閉路 $C_i$ について，$| C_i \backslash B| = 1$．

つまり，$H$ の各有向閉路からちょうど $1$ 本だけ辺が取り除かれているような最適 branching が存在するということです．
下の図は $G$ に対する maximul critical subgraph $H$ と最適 branching です．
$H$ の閉路から $(0, 1)$ と $(3, 5)$ を取り除いた最適 branching が存在することがわかります．

証明

最適 branching のうち，$H$ の辺を最も多く含んでいるものを $B$ と仮定します．
補題 2 により，$C \backslash B$ に eligible な辺がなければ，$|C \backslash B| = 1$ となるので，各 $C_i \backslash B$ のすべての辺が eligible でないことを示します．
$e \in H \backslash B$ が eligible であると矛盾が起きることを示します．
$e$ は eligible なので，新しい branching $B^{\prime} = \lbrace B \backslash \lbrace e^{\prime} \rbrace \rbrace \cup \lbrace e \rbrace$ を作ることができます．ここで $e^{\prime}$ は，$head(e)$ に入る $B$ 上の辺です．
このとき，$e \in H$ であり，$e^{\prime} \notin H$ であるため，$B^{\prime}$ は $B$ より多くの $H$ の辺を含みます．
また，$e$ は critical なので，$B^{\prime}$ は最適 branching です．
よって，$B$ より$H$ の辺を多く含む最適 branching $B^{\prime}$ ができることとなり，これは仮定に矛盾します．

定理 2

定理 1 を満たすような最適 branching $B$ に，以下の条件を満たす解が存在する．ここで $e^{0}_i$ は $C_i$ で最も重みの小さい辺である．

各有向閉路 $C_i$ で $|C_i \backslash B| = 1$
もし有向閉路 $C_i$ へ外部から入る辺が $B$ に存在しないなら，$C_i \backslash B = \lbrace e^{0}_i \rbrace$ である．

証明

1.を満たす最適 branching の中で，$\lbrace e^{0}_0, e^{1}_0, \cdots, e^{0}_k \rbrace$ が含まれる数がもっとも多いものを $B$ とします．
$B$ には $C_i$ に外部から入る辺が存在しないにも関わらず，$C_i$ に $e^{0}_i$ が含まれていると仮定します．
$C_i \backslash B = \lbrace e \rbrace$ とします．
$B^{\prime} = (B \backslash \lbrace e^{0}_i \rbrace) \cup \lbrace e \rbrace$ とします．
この $B^{\prime}$ は $\lbrace e^{0}_i \rbrace$ を含む最適 branching です．これは仮定と矛盾します．

Edmonds のアルゴリズム

グラフ $G = (V, E)$ の最適 branching を求める方法を考えます．表記上の都合のため多重辺はないものとします³．

まず，maximal critical subgraph を求め，この辺集合を $H$ とします．
補題 1 により $(V, H)$ が branching なら $(V, H)$ は最適 branching です．

$(V, H)$ が branching でない場合を考えます．
この場合，$(V, H)$ には有向閉路が 1 つ以上存在します．
定理 1 により，各閉路から 1 本辺を削除した辺集合を含む最適 branching $B^{\star}$ が存在することがわかります．今後はこの $B^{\star}$ を求めていきます．

$B^{\star}$ を求めるためには maximal critical graph の各閉路のどの辺を削除すればいいのかを考ます．
もし，$B^{\star}$ に（閉路の）外部から閉路に入る辺 $(u, v)$ がある場合，$v$ の入次数が $2$ になるのを避けるために閉路内で $v$ に入る辺を削除することになります．反対に，外部から閉路に入る辺がない場合，定理 2 より閉路内で最小の辺を削除することになります．
つまり，閉路のどの辺を削除するかは閉路外部の辺構造によって決めることができます．そこで，閉路内部の辺構造（つまり，どの辺を削除するのか）を決めるより先に外部の辺構造を決めてしまいます．
そのために，閉路外部の重みを適切に調整した上で閉路を $1$ つの超頂点に縮約します．この手続きによって得られるグラフを $G^{\prime} = (V^{\prime}, E^{\prime})$ とします．
この $G^{\prime}$ の最適 branching に超頂点に入る辺があるかどうかによって，$H$ の閉路のどの辺を削除するかを決めることができます．

$G^{\prime}$ の辺の重み $w^{\prime}$ をどう設定するかを考えます．
$G^{\prime}$ の最適 branching から構成した $G$ の branching も最適 branching であるという条件を満たす必要があります．
このためには，任意の branching について，$w(B) = w^{\prime}(B^{\prime}) + const$ であることを示せればいいです．$B^{\prime}$ と $B$ の重みの差は定数なので，$B^{\prime}$ が最適なら $B$ も最適といえるためです．
外部から閉路に入る辺を $e = (u, v)$，$v$ に入る閉路内唯一の辺を $\tilde e$，閉路の最小の重みを持つ辺を $e^{0}$ とします．この条件を満たすためには，閉路に入る辺 $e$ の重みを $w^{\prime}(e) = w(e) - w(\tilde e) + w(e^{0})$ と設定すればいいです．
閉路に入る辺以外の重みは $w$ のままとします．

証明

$w(B) = w^{\prime}(B^{\prime}) + const$ となることを示します．
$B^{\prime}$ の超頂点を展開したときの重みの増加分を考えます．

超頂点に入る辺 $e$ がないとき
- $e^{0}_i$ 以外の辺を採用するので，$w(C_i) - w(e^{0}_i)$ だけ増加します．
超頂点に入る辺 $e$ があるとき
- $w(\tilde e)$ 以外の辺を採用するので，$w(C_i) - w(\tilde e)$ だけ増加します．
  ただし，$e$ の重みを $w^{\prime}(e) = w(e) - w(\tilde e) + w(e^{0}_i)$ と調整していたので，この調整を打ち消すと $w(C_i) - w(\tilde e) - (- w(\tilde e) + w(e^{0}_i)) = w(C_i) - w(e^{0}_i)$ となります．
  結局，$w(C_i) - w(e^{0}_i)$ だけ増加します．

よって，どちらも $w(C_i) - w(e_i^{0})$ だけ増加するので，すべての閉路についてこの和をとると $w(B) = w^{\prime}(B^{\prime}) + \sum_{i} w(C_i) - \sum_{i} w(e_i^{0})$ となります．
$\sum_{i} w(C_i) - \sum_{i} w(e^{0}_i)$ の部分は branching のとり方に依存しないため定数とみなすことができ，$w(B) = w^{\prime}(B^{\prime}) + const$ となります．

このように重みを設定した $G^{\prime}$ に対し，最適 branching を求める手続きを再帰的に実行します．
$G^{\prime}$ は元のグラフより厳密に頂点数が少なくなるため，この手続きは有限回で終了します．

$G$ の最適 branching $B$ は，この再帰呼び出しから返される $G^{\prime}$ の最適 branching $B^{\prime}$ に対して，閉路の $1$ 本を除いた残りすべての辺を加えることにより構築することができます．

最後に計算量について考えます．
1 回の手続きで少なくとも 1 つの頂点が減ります．1 回の手続きには $O(|E|)$ かかるので，このアルゴリズムの計算量は $O(|E||V|)$ です．

Edmonds のアルゴリズムまとめ

step 1: maximal critical subgraph の構築 maximal critical subgraph を求めます．この辺の集合を $H$ とします．
step 2: 閉路のチェック
$(V, H)$ が branching を形成する場合，$(V, H)$ が最適 branching であるため，これを返します．
step 3: 閉路の縮約
$H$ が $1$ つ以上の閉路を含む場合，任意の閉路 $C$ を選び，$C$ を $1$ つの超頂点 $a$ に縮約します．
この操作によってできたグラフを $G^{\prime} = (V^{\prime}, E^{\prime})$とします．ここで，$V^{\prime} = (V \backslash C) \cup a$ です．
step 4: $G^{\prime}$ における辺の重みの変更
- $C$ に入る辺：
  - 辺 $(u \notin C, v \in C)$ に対して、$G^{\prime}$ 内の新しい辺 $(u, a)$ の重み $w^{\prime}(u, a)$ を $w(u, v) - w(\tilde e) + w(e^{0})$ とします．ここで，$w(\tilde e)$ は $C$ に存在する頂点 $v$ に入る辺の重み，$w(e^{0})$ は $C$ に存在する辺の最小の重みです．
- $C$ から出る辺：
  - 辺 $(u \in C, v \notin C)$ に対して、$G^{\prime}$ 内の新しい辺 $(a, v)$ の重み $w^{\prime}(a, v)$ を $w(u, v)$ とします．
- $C$ に無関係な辺：
  - 辺 $(u \notin C,v \notin C)$ に対して、$(u, v)$ の重み $w^{\prime}(u, v)$ を $w(u, v)$ とします．
step 5: 再帰呼び出し
$G^{\prime}$ の最適 branching を再帰的に見つけます．
step 6: 展開
$G^{\prime}$ の最適 branching が，閉路の外から超頂点 $a$ に入る辺を持つ場合
- 超頂点を展開します．$a$ に入る辺が展開後 $(u, v)$ であったとします．$C$ に含まれる辺のうち $v$ に入る辺以外の $|C| - 1$ 本を採用します．このようにして選んだ辺集合は最適 branching であるため，これを返します．
$G^{\prime}$ の最適 branching が，閉路の外から超頂点 $a$ に入る辺を持たない場合
- 超頂点を展開します．$C$ に含まれる辺のうち，最小の重みの辺以外の $|C| - 1$本を採用します．このようにして選んだ辺集合は最適 branching であるため，これを返します．

アルゴリズムの実行例

下のグラフの branching を求めます．

phase1

maximal critical subgraph を求めます．図では赤色の辺が対応します．
閉路のチェック
- $(2, 5), (5, 4), (4, 2)$ によって閉路が生じます．
閉路の縮約
- 閉路に属する頂点 $\lbrace 2, 4, 5 \rbrace$ を超頂点 $6$ に縮約します．
辺の重みの変更
- 超頂点に入る辺 $(0, 2)$ の重みを変更します．$2$ に入る閉路の辺の重みは $5$，閉路最小の重みは $4$ なので，$2 - 5 + 4 = 1$ となります．
- 超頂点に入る辺 $(3, 4)$ の重みを変更します．$4$ に入る閉路の辺の重みは $4$，閉路最小の重みは $4$ なので，$3 - 4 + 4 = 3$ となります．
再帰呼び出し
- 新しくできたグラフの最適 branching を求めます．

phase2

maximal critical subgraph を求めます．
閉路のチェック
- $(1, 3), (3, 6), (6, 1)$ によって閉路が生じます．
閉路の縮約
- 閉路に属する頂点 $\lbrace 1, 3, 6 \rbrace$ を超頂点 $7$ に縮約します．
辺の重みの変更
- 超頂点に入る辺 $(0, 6)$ の重みを変更します．$6$ に入る閉路の辺の重みは $3$，閉路最小の重みは $1$ なので，$1 - 3 + 1 = -1$ となります．
再帰呼び出し
- 新しくできたグラフの最適 branching を求めます．

phase3

maximal critical subgraph を求めます．
閉路のチェック
- 閉路が存在しないため，これは最適 branching です．

phase4

ここからは閉路の展開をしていきます．
現在は，$(7, 0)$ が branching の辺として選ばれています．
branching として選ばれた辺は青色の辺で示していきます．

phase5

超頂点 $7$ を展開します．超頂点 $7$ は $(1, 3), (3, 6), (6, 1)$ からなる閉路でした．
この閉路に入る辺はないので，閉路のなかで最小の辺 $(6, 1)$ を除外し，$(1, 3), (3, 6)$ を採用します．

phase6

超頂点 $6$ を展開します．超頂点 $6$ は $(2, 5), (5, 4), (4, 2)$ からなる閉路でした．
この閉路には $(3, 4)$ が入るので，閉路の中で $4$ に入る $(5, 4)$ を除外し，$(2, 5), (4, 2)$ を採用します．
すべての閉路を展開をしたので，アルゴリズムを終了します．

問題のバリエーション

以下の問題は，optimal branching と等価の問題であり，最適 branching のアルゴリズムを使って解くことができます．

最小重み有向木問題（Minimum Weight Arborescence Problem）

$G = (V, E)$ の全域有向森ではなく，全域有向木を求める問題です．木の根は任意になります．
$G$ に全域有向木が存在すると仮定します．
$G = (V, E)$ に対し，$K = 1 + \sum_{e \in E} |w(e)|$ とします．
$w^{\prime}(e) = K - w(e)$ と重みを変更した $G$ で最適 branching 問題を解きます．

木 $B$ の辺の数を $|B|$ と表します．$|B| \gt |B^{\prime}|$ である任意の $2$ つの有向木 $B$，$B^{\prime}$ に対して，$w^{\prime}(B) - w^{\prime}(B^{\prime}) = (|B| - |B^{\prime}|)K - (w(B) - w(B^{\prime})) \ge 0$ が成り立ちます．
よって，$|B| \gt |B^{\prime}|$ ならば $w^{\prime}(B) \gt w^{\prime}(B^{\prime})$ であるため，最小重み有向木問題の解を求めることができます．

最小重み根指定有向木問題（Minimum Weight Rooted Arborescence Problem）⁴

最小重み有向木問題で，全域木の根 $r$ が指定されている問題です．
$G$ に $r$ を根とする全域有向木が存在すると仮定します．
超頂点 $s$ を用意し，$G^{\prime} = (V(G) \cup \lbrace s \rbrace, E \cup \lbrace (s, r) \rbrace)$，$w(s, r) = 0$ とします．
$G^{\prime}$ に対し，最小重み有向木問題の解を求め，$s$ を削除することで，最小重み根指定有向木問題の解を得ることができます．

問題

AOJ - 最小全域有向木
- 提出コード

参考

組合せ最適化では最大重み有向森問題（Maximum Weight Branching Problem）と表記されています ↩︎
重みが最小の branching を求めたいときは重みの正負を反転します ↩︎
辺を $(u, v)$ と表記したときに，一意に定めるためです ↩︎
最小全域有向木問題，最小有向木問題とも ↩︎

グラフ on Eating Your Own Cat Food

フロー等価木と Gusfield のアルゴリズム

はじめに

フロー等価木

フロー等価木を構築するアルゴリズム

準備

補題 1

系 1

補題 2

系 2

補題 3

アルゴリズムの証明

$f_{x, y} \ge \min(P[x, y])$

$f_{x, y} \le \min(P[x, y])$

Case1: パス $P$ が直線のとき

Case2: パス $P$ が V 字のとき

問題

参考

Gomory-Hu 木

はじめに

無向グラフの s - t カット

カット関数の劣モジュラ性

Gomory-Hu 木

補題 1

補題 2

Gomory-Hu 木の性質

Gomory-Hu のアルゴリズム

アルゴリズムの実行例

Phase 1

Phase 2

Phase 3

Phase 4

Phase 5

Phase 6

証明

a. 新しく追加される辺 $AB$

1. $H$ 上の最小 s - t カットを展開した頂点集合は $G$ 上の最小 s - t カットとなりその容量は一致する

2. $H$ 上の最小 s - t カットを展開した頂点集合は $C^{\prime}_{AB}$ となる

b. 既存の辺 $XY$ から付け替えられた辺

c. その他の辺

参考

Optimum Branchings の Tarjan の実装

Optimum Branchings の Tarjan の実装

Tarjan の実装

Algorithm BRANCH

Algorithm LEAF

アルゴリズムの実行例

phase1

phase2

phase3

phase4

phase5

phase6

phase7

phase8

phase9

問題

参考

Optimum Branchings と Edmonds のアルゴリズム

Optimum Branchings

定義

critical

eligible

補題 1

補題 2

補題 3

定理 1

定理 2

Edmonds のアルゴリズム

Edmonds のアルゴリズムまとめ

アルゴリズムの実行例

phase1

phase2

phase3

phase4

phase5

phase6

問題のバリエーション

最小重み有向木問題（Minimum Weight Arborescence Problem）

最小重み根指定有向木問題（Minimum Weight Rooted Arborescence Problem）4

最小重み根指定有向木問題（Minimum Weight Rooted Arborescence Problem）⁴